On the constant reductions of valued function fields and their automorphism groups
Date
2015-11-20
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT : The aim of the project is to investigate properties of the automorphism
group of a function field in one variable over an algebraically closed field in
relation to its reductions with respect to special valuations.
Let X be a stable curve defined over a Dedekind scheme S, with smooth
generic fiber Xn. It is well known (From Deligne and Mumford) that there
exists a natural injective homomorphism between the automorphism groups of
Xn and any special fibre of X. In this thesis, we give a generalisation of this
theorem in the function field setting of Deuring's theory of constant reductions.
The result brings us to one of the central topic in Arithmetic Geometry after
Grothendieck, Deligne and Mumford: The lifting problem for curves. We will
consider the so-called "weak" Lifting problem for automorphism groups of
cyclic curves in this thesis.
We will also study good reduction for function fields. In particular, we are
interested in corresponding reduction of divisors via the Deuring's arithmetic
divisor homomorphism. Together with the generalised Deligne and Mumford
Theorem above, we will discuss the Tchebotarev Density Theorem for function
fields.
AFRIKAANSE OPSOMMING : Die doel van hierdie projek is om die eienskappe van die Outomorfisme Groep van 'n Funksieliggaam in een veranderlike oor 'n algebraiese afgeslote liggaam in samehang met die reduksies daarvan te studeer. Laat X 'n stabile kurwe wees wat oor 'n Dedekind Scheme S gedefinieerd is met generiese vesel Xn. Dit is bekend, uit werk van Deligne en Mumford, dat daar 'n natuurlike injektiewe homomorfisme tussen die outomorfisme groep van Xn en die van enige spesiale vesel bestaan. In hierdie tesis bewys ons 'n veralgemening van hierdie resultaat in die geval van funksieliggame in die raamwerk van Deuring se teorie van Konstanterekuksie. Die resultaat lei na een van die sentrale onderwerpe in Aritmetiese Meetkunde in die gees van Grothendieck, Deligne en Mumford, naamlik: Die Heffingsprobleem vir kurwes. Ons sal die sogenaamde "Swak Heffingsprobleem"vir die outomorfisme groep van sikliese kurwes in die tesis behandel. Verder bestudeer ons ook vrae binne die raamwerk van die goeie reduksie van kurwes. In besonder stel ons belang in die eienskappe van divisore met behulp van Deuring se divisorreduksie homomorfisme. Deur gebruik te maak van die veralgemening van die Deligne Mumford Stelling wat hierbo na verwys word, bespreek ons die Tschebotarev Digtheidsstelling vir funksieliggame.
AFRIKAANSE OPSOMMING : Die doel van hierdie projek is om die eienskappe van die Outomorfisme Groep van 'n Funksieliggaam in een veranderlike oor 'n algebraiese afgeslote liggaam in samehang met die reduksies daarvan te studeer. Laat X 'n stabile kurwe wees wat oor 'n Dedekind Scheme S gedefinieerd is met generiese vesel Xn. Dit is bekend, uit werk van Deligne en Mumford, dat daar 'n natuurlike injektiewe homomorfisme tussen die outomorfisme groep van Xn en die van enige spesiale vesel bestaan. In hierdie tesis bewys ons 'n veralgemening van hierdie resultaat in die geval van funksieliggame in die raamwerk van Deuring se teorie van Konstanterekuksie. Die resultaat lei na een van die sentrale onderwerpe in Aritmetiese Meetkunde in die gees van Grothendieck, Deligne en Mumford, naamlik: Die Heffingsprobleem vir kurwes. Ons sal die sogenaamde "Swak Heffingsprobleem"vir die outomorfisme groep van sikliese kurwes in die tesis behandel. Verder bestudeer ons ook vrae binne die raamwerk van die goeie reduksie van kurwes. In besonder stel ons belang in die eienskappe van divisore met behulp van Deuring se divisorreduksie homomorfisme. Deur gebruik te maak van die veralgemening van die Deligne Mumford Stelling wat hierbo na verwys word, bespreek ons die Tschebotarev Digtheidsstelling vir funksieliggame.
Description
Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2015
Keywords
Function fields, Automorphism groups, Arithmetic surface, Algebraic number field, Valuation theory, Cyclic curves