Coherent loop states and their applications in geometric quantization
Date
2024-03
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: In the first part of this study, we study coherent loop states (also known as Bohr‑ Sommerfeld
states) on 𝑆², with application to the representation theory of 𝑆𝑈(2). These states offer a
precise bridge between the classical and quantum descriptions of angular momentum. We show that
they recover the usual basis of angular mo‑ mentum eigenstates used in physics, and give a
self‑contained proof of the asymp‑ totics of their inner products. As an application, we use these
states to derive Little‑ john and Yu’s geometric formula for the asymptotics of the Wigner matrix
elements. In the second part of this thesis, we consider coherent loop states on a general Riemann
surface 𝑀. We show that for quasi‑regular polarizations of 𝑀, the second derivatives of the
Bergman kernel on the diagonal of 𝑀 can be computed precisely in terms of the Kähler form of 𝑀.
Therefore, the asymptotics of the inner product of coherent loop states can be computed using the
complex stationary phase principle.
This gives an alternative proof, for quasi‑regular polarized Riemann surfaces, of a variant of a
result of Borthwick, Paul and Uribe.
AFRIKAANSE OPSOMMING: In die eerste deel van hierdie studie ondersoek ons koherente lusstate (ook bekend as Bohr‑Sommerfeld‑state) op 𝑆², met die toepassing op die matrikselemente van onontbindbare representasies van 𝑆𝑈(2). Hierdie state bied ’n presiese brug tus‑ sen die klassieke en kwantum beskrywings van hoekmomentum. Ons toon aan dat hulle die gewone basis van hoekmomentum‑eigenstate herwin wat in fisika gebruik word, en gee ’n selfinhoudelike bewys van die asymptote van hul binneprodukte. As ’n toepassing gebruik ons hierdie state om Littlejohn en Yu se meetkundige for‑ mule vir die asymptote van die Wigner‑matrikselemente af te lei. In die tweede deel van hierdie tesis, beskou ons koherente lusstate op ’n alge‑ mene Riemann‑oppervlak 𝑀. Ons toon aan dat vir reguliere polarisasies van 𝑀, die tweede afgeleides van die Bergmankernel op die diagonaal van 𝑀 presies bere‑ ken kan word in terme van die Kähler‑vorm van 𝑀. Daarom kan die asymptote van die binneproduk van koherente lusstate bereken word deur gebruik te maak van die komplekse stasionêre fase‑beginsel. Dit gee ’n alternatiewe bewys, vir amper‑ gereelde gepolariseerde Riemann‑oppervlaktes, van ’n resultaat van Borthwick, Paul, en Uribe.
AFRIKAANSE OPSOMMING: In die eerste deel van hierdie studie ondersoek ons koherente lusstate (ook bekend as Bohr‑Sommerfeld‑state) op 𝑆², met die toepassing op die matrikselemente van onontbindbare representasies van 𝑆𝑈(2). Hierdie state bied ’n presiese brug tus‑ sen die klassieke en kwantum beskrywings van hoekmomentum. Ons toon aan dat hulle die gewone basis van hoekmomentum‑eigenstate herwin wat in fisika gebruik word, en gee ’n selfinhoudelike bewys van die asymptote van hul binneprodukte. As ’n toepassing gebruik ons hierdie state om Littlejohn en Yu se meetkundige for‑ mule vir die asymptote van die Wigner‑matrikselemente af te lei. In die tweede deel van hierdie tesis, beskou ons koherente lusstate op ’n alge‑ mene Riemann‑oppervlak 𝑀. Ons toon aan dat vir reguliere polarisasies van 𝑀, die tweede afgeleides van die Bergmankernel op die diagonaal van 𝑀 presies bere‑ ken kan word in terme van die Kähler‑vorm van 𝑀. Daarom kan die asymptote van die binneproduk van koherente lusstate bereken word deur gebruik te maak van die komplekse stasionêre fase‑beginsel. Dit gee ’n alternatiewe bewys, vir amper‑ gereelde gepolariseerde Riemann‑oppervlaktes, van ’n resultaat van Borthwick, Paul, en Uribe.
Description
Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2024.