Geometry of Complex Polynomials: On Sendov's Conjecture
Date
2016-12
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT : Sendov’s conjecture states that if all the zeroes of a complex polynomial
P(z) of degree at least two lie in the unit disk, then within a unit distance
of each zero lies a critical point of P(z). In a paper that appeared in 2014,
Dégot proved that, for each α ε (0, 1), there is an integer N such that for any
polynomial P(z) with degree greater than N, P(a) = 0 and all zeroes inside
the unit disk, the disk │z- α│ ≤ 1 contains a critical point of P(z). Basing
on this result, we derive an explicit formula N(a) for each α ε (0, 1) and,
furthermore, obtain a uniform bound N for all a ε [α,β] where 0 < α < β < 1. This addresses the questions posed in Dégot’s paper.
AFRIKAANSE OPSOMMING : Die vermoede van Sendov lui dat, as alle nulpunte van ’n komplekse polinoom P(z) van graad minstens twee binne die eenheidssirkel lê, dan is daar ’n kritieke punt van P(z) binne ’n afstand van een van elke nulpunt. In die artikel wat 2014 verskyn het, het Dégot bewys dat daar vir elke a ε (0, 1) ’n heelgetal N bestaan sodat, vir elke polinoom P(z) van graad groter as N met P(a) = 0 en met alle nulpunte binne die eenheidskyf, die skyf │z- α│≤1 ’n kritieke punt van P(z) bevat. Gebaseer op hierdie werk bepaal ons ’n formule N(a) vir elke a ε (0, 1), en verder bepaal ons ’n uniforme bogrens N vir alle a ε [α,β] waar 0 < α < β < 1. Dit spreek die vrae aan wat in Dégot se artikel gestel is.
AFRIKAANSE OPSOMMING : Die vermoede van Sendov lui dat, as alle nulpunte van ’n komplekse polinoom P(z) van graad minstens twee binne die eenheidssirkel lê, dan is daar ’n kritieke punt van P(z) binne ’n afstand van een van elke nulpunt. In die artikel wat 2014 verskyn het, het Dégot bewys dat daar vir elke a ε (0, 1) ’n heelgetal N bestaan sodat, vir elke polinoom P(z) van graad groter as N met P(a) = 0 en met alle nulpunte binne die eenheidskyf, die skyf │z- α│≤1 ’n kritieke punt van P(z) bevat. Gebaseer op hierdie werk bepaal ons ’n formule N(a) vir elke a ε (0, 1), en verder bepaal ons ’n uniforme bogrens N vir alle a ε [α,β] waar 0 < α < β < 1. Dit spreek die vrae aan wat in Dégot se artikel gestel is.
Description
Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2016
Keywords
Sendov's conjecture, Complex polynomials, Geometry -- Conjectures, Gauss-Lucas theorem