An equivalence of categories in algebraic geometry and some unlikely intersections in powers of elliptic curves
Date
2024-03
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: Let E be an elliptic curve defined over a number field and let C₁, C₂ EN C be irreducible closed
algebraic curves where N 3. Suppose that C₁ is not contained in a 1-dimensional algebraic subgroup
of EN C and C₁ C₂ is not contained in a 2-dimensional algebraic subgroup of EN C . Extending work
of Boxall on the multiplicative group to elliptic curves, we prove that, if at least one of C₁ and
C₂ is not defined over Q, then there are at most finitely many points x C₁ such that there exists
an n N such that nx C₂ and that n C₁ C₂ where n C₁ nx x C₁ . Moreover, we consider a defini-
tion of affine varieties and prevarieties, in the classical sense, over an arbitrary field and
provide expository development of many well-known properties of these classical affine varieties.
Additionally, extending well-known definitions of functors in the algebraically closed field case,
we rigorously construct func- tors in both directions, between the category of these prevarieties
and the category of reduced schemes of finite type over the same arbitrary field, which we show to
be quasi-inverse so that they give rise to an equivalence of cate- gories. Finally, in an appendix,
we include the well-known definition and some properties of schemes as well as some other basic
topics for convenience.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Laat E ’n elliptiese kurwe wees wat oor ’n getalveld gedefinieer word en laat C₁, C₂ EN C ‘n onherleibare geslote algebraïese kurwe wees waar N 3. Gestel C₁ is nie vervat in ’n 1-dimensionele algebraïese subgroep van EN C nie en C₁ C₂ is nie vervat in ’n 2-dimensionele algebraïese subgroep van EN C nie. Uitbreiding van werk van Boxall op die vermenigvuldigende groep tot elliptiese kurwes, bewys ons dat, as ten minste een van C₁ en C₂ nie oor Q gedefinieer word nie, is daar hoogstens eindige hoeveelheid punte x C₁, sodanig dat daar ’n n N bestaan sodat nx C₂ en dat n C₁ C₂ waar n C₁ nx x C₁ . Verder beskou ons ’n definisie van verwante variëteite en voorvariëteite, in die klassieke sin, oor ’n arbitrêre veld en bied blootstel- lingsontwikkeling van baie bekende eienskappe van hierdie klassieke verwante variëteite. Daarbenewens, om bekende definisies te verleng van funktore in die algebraïes geslote veldsaak, konstrueer ons funktore streng in beide rigtings, tussen die kategorie van hierdie voorvariëteite en die kategorie van verminderde skemas van eindige tipe oor dieselfde arbitrêre veld, wat ons wys dat dit kwasi- omgekeerd is sodat dit aanleiding gee tot ’n ekwivalensie van kategorieë. Ten slotte, in ’n aanhangsel, sluit ons die bekende definisie en sommige eienskappe van skemas sowel as ander basiese onderwerpe vir gerief.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Laat E ’n elliptiese kurwe wees wat oor ’n getalveld gedefinieer word en laat C₁, C₂ EN C ‘n onherleibare geslote algebraïese kurwe wees waar N 3. Gestel C₁ is nie vervat in ’n 1-dimensionele algebraïese subgroep van EN C nie en C₁ C₂ is nie vervat in ’n 2-dimensionele algebraïese subgroep van EN C nie. Uitbreiding van werk van Boxall op die vermenigvuldigende groep tot elliptiese kurwes, bewys ons dat, as ten minste een van C₁ en C₂ nie oor Q gedefinieer word nie, is daar hoogstens eindige hoeveelheid punte x C₁, sodanig dat daar ’n n N bestaan sodat nx C₂ en dat n C₁ C₂ waar n C₁ nx x C₁ . Verder beskou ons ’n definisie van verwante variëteite en voorvariëteite, in die klassieke sin, oor ’n arbitrêre veld en bied blootstel- lingsontwikkeling van baie bekende eienskappe van hierdie klassieke verwante variëteite. Daarbenewens, om bekende definisies te verleng van funktore in die algebraïes geslote veldsaak, konstrueer ons funktore streng in beide rigtings, tussen die kategorie van hierdie voorvariëteite en die kategorie van verminderde skemas van eindige tipe oor dieselfde arbitrêre veld, wat ons wys dat dit kwasi- omgekeerd is sodat dit aanleiding gee tot ’n ekwivalensie van kategorieë. Ten slotte, in ’n aanhangsel, sluit ons die bekende definisie en sommige eienskappe van skemas sowel as ander basiese onderwerpe vir gerief.
Description
Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2024.