Investigations on the Wigner derivative and on an integral formula for the quantum 6j symbols
Date
2022-04
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH SUMMARY: wo separate studies are done in this thesis:
1. TheWigner derivative is the partial derivative of dihedral angle with respect
to opposite edge length in a tetrahedron, all other edge lengths remaining
fixed. We compute the inverse Wigner derivative for spherical tetrahedra,
namely the partial derivative of edge length with respect to opposite dihedral
angle, all other dihedral angles remaining fixed. We show that the inverse
Wigner derivative is actually equal to theWigner derivative.
2. We investigate a conjectural integral formula for the quantum 6j symbols suggested
by Bruce Bartlett. For that we consider the asymptotics of the integral
and compare it with the known formula for the asymptotics of the quantum 6j
symbols due to Taylor and Woodward. Taylor and Woodward’s formula can
be rewritten as a sum of two quantities: ins and bound. The asymptotics of
the integral splits into an interior and boundary contribution. We successfully compute the interior contribution using the stationary phase method. The result
is indeed quite similar to although not exactly the same as ins. Though
we expect the boundary contribution to be similar to bound, the computation
is left for future work.
AFRIKAANS OPSOMMING: Twee afsonderlike studies word in hiedie tesis gedoen: 1. Die Wigner-afgeleide is die parsiële afgeleide van ’n tweevlakshoek met betrekking tot die teenoorgestelde kandlengte in ’n tetraëder, terwyl alle ander kandlengtes onveranderd bly. Ons bereken die inverse Wigner-afgeleide vir sferiese tetraëders, naamlik die parsiële afgeleide van die kandlengte met betrekking tot teenoortaande tweevlakshoek, terwyl alle ander tweevlakshoeke konstant bly. Ons wys dat die inverse Wigner-afgeleide inderdaad gelyk is aan die Wigner-afgeleide. 2. Ons ondersoek ’n beweerde integralformule vir die kwantum 6j simbole, wat deur Bruce Bartlett as moontlikheid voorgestel is. Daarvoor oorweeg ons die asimptotika van die integraal en vergelyk dit met die bekende formule van die kqantum 6j simbole as gevolg van Taylor enWoodward. Taylor enWoodward se formule kan herskryf word as ’n som van twee hoeveelhede: ins en bound. Die asimptotika van die integraal verdeel in ’n binne- en grensbydrae. Ons het die interne bydrae suksesvol met behulp van die stilstaande fase metode bereken. Die resultaat is inderdaad baie soortgelyk aan hoewel nie presies dieselfde as ins nie. Alhoewel ons verwag dat die grensbydrae soortgelyk aan bound sal wees, word die berekening gelaat vir toekomstige werk.
AFRIKAANS OPSOMMING: Twee afsonderlike studies word in hiedie tesis gedoen: 1. Die Wigner-afgeleide is die parsiële afgeleide van ’n tweevlakshoek met betrekking tot die teenoorgestelde kandlengte in ’n tetraëder, terwyl alle ander kandlengtes onveranderd bly. Ons bereken die inverse Wigner-afgeleide vir sferiese tetraëders, naamlik die parsiële afgeleide van die kandlengte met betrekking tot teenoortaande tweevlakshoek, terwyl alle ander tweevlakshoeke konstant bly. Ons wys dat die inverse Wigner-afgeleide inderdaad gelyk is aan die Wigner-afgeleide. 2. Ons ondersoek ’n beweerde integralformule vir die kwantum 6j simbole, wat deur Bruce Bartlett as moontlikheid voorgestel is. Daarvoor oorweeg ons die asimptotika van die integraal en vergelyk dit met die bekende formule van die kqantum 6j simbole as gevolg van Taylor enWoodward. Taylor enWoodward se formule kan herskryf word as ’n som van twee hoeveelhede: ins en bound. Die asimptotika van die integraal verdeel in ’n binne- en grensbydrae. Ons het die interne bydrae suksesvol met behulp van die stilstaande fase metode bereken. Die resultaat is inderdaad baie soortgelyk aan hoewel nie presies dieselfde as ins nie. Alhoewel ons verwag dat die grensbydrae soortgelyk aan bound sal wees, word die berekening gelaat vir toekomstige werk.
Description
Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2022.
Keywords
Wigner derivative, Wigner distribution, 6-j symbols, UCTD