Oriented 123-TQFTs via String-Nets and State-Sums
Date
2018-03
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT :In a series of papers Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, and Vicary
discovered a finite generators-and-relations presentation of the oriented
bordism bicategory. This simplifies the task of finding oriented once-extended
topological quantum field theories (123-TQFTs). We combine this result
with the theory of string-nets, specifically Kirillov’s generalization of the
theory to surfaces with boundary, and construct an oriented 123-TQFT based
on string-nets. Previously, string-nets were only understood at the level
of surfaces - in particular, it was not known how to assign linear maps to
cobordisms which changed the topology of the surface. We also reformulate
the extended Turaev-Viro theory developed by Balsam and Kirillov into the
bicategorical generators-and-relations formalism, and use this to prove that
the string-net and Turaev-Viro 123-TQFTs are equivalent.
AFRIKAANSE OPSOMMING : In ’n reeks artikels het Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, en Vicary ’n eindige voortbringer-en-verwantskap voorstelling van die ge¨orienteerde kobordisme bikategorie ontdek. Hierdie voorstelling vergemaklik die taak om ge¨orienteerde eenmaaluitgebreide topologiese kwantumveldtoerie¨e (123- TKVTe) op te spoor. Ons kombineer hierdie resultaat met die teorie van string-nette, veral Kirillov se veralgemening van die teorie na begrensde oppervlakke, om sodoende ’n ge¨orienteerde 123-TKVT gebaseer op stringnette te konstrueer. Voorheen was die teorie slegs verstaan vir oppervlakke - byvoorbeeld, dit was nie bekend hoe om ’n lineˆere transformasie te assosieer met ’n kobordisme wat die topologie van die onderlinge ruimte verander nie. Ons herformuleer ook die uitgebreide Turaev-Viro teorie ontwikkel deur Balsam en Kirillov binne die bikategoriese voorbringer-en-verwantskap raamwerk, en gebruik dit om te bewys dat die string-net en Turaev-Viro 123-TKVTe ekwivalent is.
AFRIKAANSE OPSOMMING : In ’n reeks artikels het Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, en Vicary ’n eindige voortbringer-en-verwantskap voorstelling van die ge¨orienteerde kobordisme bikategorie ontdek. Hierdie voorstelling vergemaklik die taak om ge¨orienteerde eenmaaluitgebreide topologiese kwantumveldtoerie¨e (123- TKVTe) op te spoor. Ons kombineer hierdie resultaat met die teorie van string-nette, veral Kirillov se veralgemening van die teorie na begrensde oppervlakke, om sodoende ’n ge¨orienteerde 123-TKVT gebaseer op stringnette te konstrueer. Voorheen was die teorie slegs verstaan vir oppervlakke - byvoorbeeld, dit was nie bekend hoe om ’n lineˆere transformasie te assosieer met ’n kobordisme wat die topologie van die onderlinge ruimte verander nie. Ons herformuleer ook die uitgebreide Turaev-Viro teorie ontwikkel deur Balsam en Kirillov binne die bikategoriese voorbringer-en-verwantskap raamwerk, en gebruik dit om te bewys dat die string-net en Turaev-Viro 123-TKVTe ekwivalent is.
Description
Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2018.
Keywords
String nets (Mathematics), UCTD, Quantum field theories, Turaev-Viro theory, State space (Mathematics)