Algebraic points in tame expansions of fields
Date
2021-12
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: We investigate the behaviour of algebraic points in several expansions of
the real, complex and p-adic fields. We build off the work of Eleftheriou,
Günaydin and Hieronymi in [17] and [18] to prove a Pila-Wilkie result for
a p-adic subanalytic structure with a predicate for either a dense elementary
substructure or a dense dcl-independent set. In the process we prove
a structure theorem for p-minimal structures with a predicate for a dense
independent set. We then prove quantifier reduction results for the complex
field with a predicate for the singular moduli and the real field with an exponentially
transcendental power function and a predicate for the algebraic
numbers using a Schanuel property proved by Bays, Kirby and Wilkie [5].
Finally we adapt a theorem by Ax [2] about exponential fields, key to the
proof of the Schanuel property for power functions, to power functions.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Ons ondersoek die gedrag van algebraïese punte in verskeie uitbreidings van die reële, komplekse en p-adiese liggame. Ons bou op die werk van Eleftheriou, Günaydin en Hieronymi in [17] en [18] om ‘n Pila-Wilkie resultaat vir ‘n p-adiese subanalitiese struktuur met ’n predikaat vir ‘n dig elementêre substruktuur of ‘n dig dcl-onafhanklike versameling te bewys. In die proses bewys ons ‘n struktuurstelling vir p-minimale strukture met ‘n predikaat vir ‘n dig onafhanklike versameling. Ons bewys dan kwantorreduksie resultate vir die komplekse liggame met ‘n predikaat vir die komplekse vermenigvuldigingspunte en die reële liggaam met ‘n eksponensieel-transendentale magsfunksie en ‘n predikaat vir die algebraïese getalle deur gebruik te maak van ‘n Schanuel-eienskap wat bewys is deur Bays, Kirby en Wilkie [5]. Uiteindelik pas ons ‘n stelling van Ax [2] aan oor exponensiële liggame, wat noodsaaklik is vir die bewys van die Schanuel-eienskap, tot magsfunksies.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Ons ondersoek die gedrag van algebraïese punte in verskeie uitbreidings van die reële, komplekse en p-adiese liggame. Ons bou op die werk van Eleftheriou, Günaydin en Hieronymi in [17] en [18] om ‘n Pila-Wilkie resultaat vir ‘n p-adiese subanalitiese struktuur met ’n predikaat vir ‘n dig elementêre substruktuur of ‘n dig dcl-onafhanklike versameling te bewys. In die proses bewys ons ‘n struktuurstelling vir p-minimale strukture met ‘n predikaat vir ‘n dig onafhanklike versameling. Ons bewys dan kwantorreduksie resultate vir die komplekse liggame met ‘n predikaat vir die komplekse vermenigvuldigingspunte en die reële liggaam met ‘n eksponensieel-transendentale magsfunksie en ‘n predikaat vir die algebraïese getalle deur gebruik te maak van ‘n Schanuel-eienskap wat bewys is deur Bays, Kirby en Wilkie [5]. Uiteindelik pas ons ‘n stelling van Ax [2] aan oor exponensiële liggame, wat noodsaaklik is vir die bewys van die Schanuel-eienskap, tot magsfunksies.
Description
Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2021.
Keywords
Model theory, Tame algebras, p-Adic fields, Pila-Wilkie results, Tame expansions, Schanuel property, Dense pairs, UCTD