The definable (p,q)-theorem for dense pairs of certain geometric structures
Date
2021-12
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: The definable (p, q)-conjecture is a model-theoretic version of a (p, q)-
theorem in combinatorics, which was expressed in the form of a question
by A. Chernikov and P. Simon in 2015. Researchers have proved that the
property holds for certain classes of structures. Based on those existing results,
the main objective of the present thesis is to show that the definable
(p, q)-conjecture holds for a dense pair of geometric distal structures that
satisfies the following condition: algebraic closure and definable closure
are the same in sense of the original geometric structure. Independently,
we also explore a different approach to prove that under some conditions,
the definable (p, q)-conjecture holds in certain cases for dense pairs of real
closed ordered fields.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Die definieerbare (p, q)-vermoede is ’n model-teoretiese weergawe van ’n (p, q)-stelling in kombinatorika, wat in 2015 deur A. Chernikov en P. Simon in die vorm van ’n vraag uitgedruk is. Navorsers het bewys dat die eienskap vir seker klasse van strukture geldig is. Op grond van daardie bestaande resultate is die hoofdoel van hierdie tesis om aan te toon dat die definieerbare (p, q)-vermoede geldig is vir ’n digte paar meetkundige distale strukture wat die volgende voorwaarde bevredig: algebraïese afsluiting en definieerbare afsluiting is dieselfde in die sin van die oorspronklike meetkundige struktuur. Onafhanklik hiervan ondersoek ons ’n ander benadering om te bewys dat, onder seker voorwaardes, die definieerbare (p, q)-vermoede geldig is vir seker gevalle vir digte pare van reële geslote geordende liggame.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Die definieerbare (p, q)-vermoede is ’n model-teoretiese weergawe van ’n (p, q)-stelling in kombinatorika, wat in 2015 deur A. Chernikov en P. Simon in die vorm van ’n vraag uitgedruk is. Navorsers het bewys dat die eienskap vir seker klasse van strukture geldig is. Op grond van daardie bestaande resultate is die hoofdoel van hierdie tesis om aan te toon dat die definieerbare (p, q)-vermoede geldig is vir ’n digte paar meetkundige distale strukture wat die volgende voorwaarde bevredig: algebraïese afsluiting en definieerbare afsluiting is dieselfde in die sin van die oorspronklike meetkundige struktuur. Onafhanklik hiervan ondersoek ons ’n ander benadering om te bewys dat, onder seker voorwaardes, die definieerbare (p, q)-vermoede geldig is vir seker gevalle vir digte pare van reële geslote geordende liggame.
Description
Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2021.
Keywords
(p,q)-theorem, Dense pairs, Geometric structures, Prediction (Logic), Combinatorial analysis, Finite geometries, UCTD