The Radon-Nikodym and the Krein-Milman properties in Banach spaces
Date
2006-12
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: A Banach space X over the field of real numbers R. has the Radon-Nikodym property
(RNP) if for each finite positive measure space (Ω,∑,µ) and each X-valued, µ-continuous
measure v on ∑; with bounded variation │v│, there exists a Bochner integrable function
f : Ω -- X such that v (E) = ∫ e f dµ for E =∑.
The RNP has become a geometrical property when the following result was introduced:
A Banach space X has the RNP if and only if each non-empty bounded subset of X is
den table.
Futhermore, a Banach space X has the Krein-Milman property (KMP) if each closed
bounded convex subset of X is the closed convex hull of its extreme points.
Lindenstrauss proved that if each nonempty closed bounded convex subset of a Banach
space X contains an extreme point, then X has the Krein-Milman property. In particular,
a Banach space with the RNP has the KMP. The converse remains an open question. In
this thesis we examine conditions under which the KMP implies the RNP.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Gestel X is 'n Banach-ruimte oor die liggaam R Dan het X die Radon-Nikodym-eienskap as vir elke eindige positive maatruimte (0, E, µ) en vir elke µ-kontinue aftelbaar additiewe maat v: E ~ X met begrensde variasie lvl, daar 'n Bochner-integreerbare funksie f: 0 ~ X bestaan sodanig dat v(E) = fe fdµ vir elke EE E. Die RN-eienskap het van die maatteoretiese na die meetkundige verskuif toe Rieffel aangetoon het dat 'n Banach-ruimte X die Radon-Nikodym eienskap het as en slegs as elke nie-lee begrensde deelversameling van X induikbaar is. Verder, 'n Banach-ruimte X het die Krein-Milman-eienskap as elke nie-lee geslote begrensde konvekse deelversameling van X gelyk is aan die geslote konvekse omhulsel van sy ekstreempunte. Lindenstrauss het bewys dat as elke nie-lee geslote begrensde konvekse deelversameling van 'n Banach-ruimte X 'n ekstreempunt bevat, dan het X die KreinMilman-eienskap. In die besonder geld dat 'n Banach-ruimte met die Radon-Nikodym eienskap ook die Krein-Milman-eienskap het. Omdat die omgekeerde in die algemeen nie geld nie, word in hierdie tesis onclersoek ingestel na voorwaardes waaronder Krein-Milman wel vir Radon-Nikodym impliseer.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Gestel X is 'n Banach-ruimte oor die liggaam R Dan het X die Radon-Nikodym-eienskap as vir elke eindige positive maatruimte (0, E, µ) en vir elke µ-kontinue aftelbaar additiewe maat v: E ~ X met begrensde variasie lvl, daar 'n Bochner-integreerbare funksie f: 0 ~ X bestaan sodanig dat v(E) = fe fdµ vir elke EE E. Die RN-eienskap het van die maatteoretiese na die meetkundige verskuif toe Rieffel aangetoon het dat 'n Banach-ruimte X die Radon-Nikodym eienskap het as en slegs as elke nie-lee begrensde deelversameling van X induikbaar is. Verder, 'n Banach-ruimte X het die Krein-Milman-eienskap as elke nie-lee geslote begrensde konvekse deelversameling van X gelyk is aan die geslote konvekse omhulsel van sy ekstreempunte. Lindenstrauss het bewys dat as elke nie-lee geslote begrensde konvekse deelversameling van 'n Banach-ruimte X 'n ekstreempunt bevat, dan het X die KreinMilman-eienskap. In die besonder geld dat 'n Banach-ruimte met die Radon-Nikodym eienskap ook die Krein-Milman-eienskap het. Omdat die omgekeerde in die algemeen nie geld nie, word in hierdie tesis onclersoek ingestel na voorwaardes waaronder Krein-Milman wel vir Radon-Nikodym impliseer.
Description
Thesis (MSc) -- University of Stellenbosch, 2006.
Keywords
Banach spaces -- Radon-Nikodym property, Banach spaces -- Krein-Milman property, Dissertations -- Mathematics