A systematic analysis of the generalisation concept in early algebra for young learners – some ideas for the classroom
Date
2022-03
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: The importance of introducing algebra concepts and skills in the early years of
mathematics education, has become increasingly acknowledged as imperative for
algebra success in the secondary grades of mathematics teaching and learning.
Research has shown that learners at a young age are able to reason algebraically.
Generalisation is described as one of the core aspects of early algebra and should be
embedded throughout the mathematics curriculum to form a deep understanding of
the underlying structure of mathematics. In South Africa, the field of early algebra
remains largely unexplored in the mathematics education research context. The
content area, ‘Patterns, functions and algebra’ which aims to provide guidelines for
the teaching of early algebra in South African early years classrooms, seems to be
inadequate for the implementation of early algebra in early years classrooms. A lack
of a relational approach in the sequencing of curriculum documents and learning and
teaching materials, are provided for the teaching of patterns, functions, and algebra in
the foundation phase. The purpose of this study was to determine how the
generalisation concept can be implemented in early years classrooms to develop early
algebra skills and concepts. A systematic literature review was conducted with the aim
of extending on current research by designing a higher-order construct from existing
literature. A thematic analysis of the literature led to the synthesis of an instructional
sequence for the implementation of generalisation in early years classrooms. The
instructional sequence was based on the principles of Realistic Mathematics
Education from the Netherlands which included guided reinvention and emergent
modelling as foundational principles. A historical overview of the development of
algebra through the ages indicated three historical stages: the rhetorical stage, the
syncopated stage, and the symbolic stage, as well as four conceptual stages: the
geometric stage, the static-equation stage, the dynamic function stage, and the
abstract stage. The emergence of the main components and big ideas of algebra from
these stages provided a valuable insight as to how algebraic thinking developed
naturally and informed an instructional sequence for the implementation of
generalisation. An in-depth systematic review of the concepts which emerged from
history was further conducted to understand the current state of algebra in schools, how algebraic thinking develops, the levels of algebraic thinking and what the main
components of early algebra are, with a specific focus on generalisation. The study
further explored an appropriate learning approach, namely the problem-centred
approach, which ensures that mathematics is learned for understanding. The historical
overview and the systematic review of early algebra, generalisation, and structure
were used to construct the instructional sequence for the implementation of
generalisation in early years classrooms.
AFRIKAANSE OPSOMMMING: Dit word algemeen aanvaar dat daar ‘n behoefte bestaan om algebra op ‘n vroeër fase deel te maak van die wiskunde kurrikulum. Vroee algebra word beskou as noodsaaklik om die sukses van die verstaan van formele algebra in later grade te verseker. Navorsing dui aan dat leerders daartoe in staat is om van ‘n vroee ouderdom algebraïes te redeneer. Veralgemening word beskryf as een van die kern aspekte van vroee algebra. Veralgemening moet dwarsdeur die wiskunde kurrikulum integreer word sodat leerders die struktuur van wiskunde gouer en beter kan verstaan. In Suid- Afrika, is die veld van vroee algebra meestal onontgin in die konteks van vroee wiskundeonderwys. Die inhoud area ‘Patrone, funksies en algebra’ het die doel om riglyne voor te skryf vir die onderrig en leer van algebra in Suid-Afrikaanse grondslagfase klaskamers, maar blyk onvoldoende te wees vir die effektiewe onderrig en leer van vroee algebra. ‘n Gebrek aan ‘n verhouding en samehang in die volgorde van kurrikulumdokumente, en onderrig en leer materiaal kan waargeneem word. Die oogmerk van hierdie studie was om te bepaal hoe die veralgemeningskonsep in grondslagfase klaskamers geimplementeer kan word met die doel om vroee algebra vaardighede en konsepte in jong leerders te ontwikkel. ‘n Sistematiese literatuurstudie was uitgevoer met die hoop om op huidige literatuur uit te brei deur ‘n hoer-orde konstruksie te ontwerp op grond van bestaande literatuur. ‘n Tematiese analise van die literatuur het gelei tot die sintese van ‘n geordende onderrig patroon of leer- teoretiese model wat die implementering van veralgemening in die grondslagfase klas verduidelik. Die model is gebaseer op die beginsels van die Realistiese Wiskundeonderwysbenadering van Nederland (‘Realistic Mathematics Education’) wat onder andere insluit, gerigte herontdekking (‘guided reinvetion’) en ontluikende modellering (‘emergent modelling’). ‘n Historiese oorsig van die ontwikkeling van algebra deur die eeue het drie ontwikkelingsfases blootgele: die retoriese fase, die sinkopering fase, en die simboliese fase. Ook is daar vier konseptuele fases aangedui: die geometriese fase, die fase van die oplos van statiese vergelykings, die dinamiese funksie fase, en die abstrakte fase. Die opkoms van die sleutelkonsepte en groot idees van vroee algebra vanuit hierdie fases, het waardevolle insigte gelewer ten opsigte van die natuurlike ontwikkeling van algebra. Hierdie insigte is gebruik in die ontwerp van die onderrig-volgorde van die implementering van veralgemening. ‘n Verdere in- diepte sistematiese studie van die konsepte wat uit die geskiedenis verskyn het, was uitgevoer om vas te stel wat die huidige situasie van vroee algebra in skole is, hoe algebraïese denke ontwikkel word, hoe die vlakke van algebraïese denke ontwikkel en wat die kernaspekte van algebra is, met ‘n sterk fokus op veralgemening. Die studie het ook die probleem-gesentreerde benadering gekies as ‘n leerbenadering wat die doel het om die leer van wiskunde-met-begrip te verseker. Die oorsig van die geskiedenis van die ontwikkeling van algebra, sowel as die sistematiese analise van vroee algebra gefokus op veralgemening en struktuur, het ‘n onderrig-volgorde of leer- teoretiese model vir die implementering van veralgemening in die grondslagfase gelewer.
AFRIKAANSE OPSOMMMING: Dit word algemeen aanvaar dat daar ‘n behoefte bestaan om algebra op ‘n vroeër fase deel te maak van die wiskunde kurrikulum. Vroee algebra word beskou as noodsaaklik om die sukses van die verstaan van formele algebra in later grade te verseker. Navorsing dui aan dat leerders daartoe in staat is om van ‘n vroee ouderdom algebraïes te redeneer. Veralgemening word beskryf as een van die kern aspekte van vroee algebra. Veralgemening moet dwarsdeur die wiskunde kurrikulum integreer word sodat leerders die struktuur van wiskunde gouer en beter kan verstaan. In Suid- Afrika, is die veld van vroee algebra meestal onontgin in die konteks van vroee wiskundeonderwys. Die inhoud area ‘Patrone, funksies en algebra’ het die doel om riglyne voor te skryf vir die onderrig en leer van algebra in Suid-Afrikaanse grondslagfase klaskamers, maar blyk onvoldoende te wees vir die effektiewe onderrig en leer van vroee algebra. ‘n Gebrek aan ‘n verhouding en samehang in die volgorde van kurrikulumdokumente, en onderrig en leer materiaal kan waargeneem word. Die oogmerk van hierdie studie was om te bepaal hoe die veralgemeningskonsep in grondslagfase klaskamers geimplementeer kan word met die doel om vroee algebra vaardighede en konsepte in jong leerders te ontwikkel. ‘n Sistematiese literatuurstudie was uitgevoer met die hoop om op huidige literatuur uit te brei deur ‘n hoer-orde konstruksie te ontwerp op grond van bestaande literatuur. ‘n Tematiese analise van die literatuur het gelei tot die sintese van ‘n geordende onderrig patroon of leer- teoretiese model wat die implementering van veralgemening in die grondslagfase klas verduidelik. Die model is gebaseer op die beginsels van die Realistiese Wiskundeonderwysbenadering van Nederland (‘Realistic Mathematics Education’) wat onder andere insluit, gerigte herontdekking (‘guided reinvetion’) en ontluikende modellering (‘emergent modelling’). ‘n Historiese oorsig van die ontwikkeling van algebra deur die eeue het drie ontwikkelingsfases blootgele: die retoriese fase, die sinkopering fase, en die simboliese fase. Ook is daar vier konseptuele fases aangedui: die geometriese fase, die fase van die oplos van statiese vergelykings, die dinamiese funksie fase, en die abstrakte fase. Die opkoms van die sleutelkonsepte en groot idees van vroee algebra vanuit hierdie fases, het waardevolle insigte gelewer ten opsigte van die natuurlike ontwikkeling van algebra. Hierdie insigte is gebruik in die ontwerp van die onderrig-volgorde van die implementering van veralgemening. ‘n Verdere in- diepte sistematiese studie van die konsepte wat uit die geskiedenis verskyn het, was uitgevoer om vas te stel wat die huidige situasie van vroee algebra in skole is, hoe algebraïese denke ontwikkel word, hoe die vlakke van algebraïese denke ontwikkel en wat die kernaspekte van algebra is, met ‘n sterk fokus op veralgemening. Die studie het ook die probleem-gesentreerde benadering gekies as ‘n leerbenadering wat die doel het om die leer van wiskunde-met-begrip te verseker. Die oorsig van die geskiedenis van die ontwikkeling van algebra, sowel as die sistematiese analise van vroee algebra gefokus op veralgemening en struktuur, het ‘n onderrig-volgorde of leer- teoretiese model vir die implementering van veralgemening in die grondslagfase gelewer.
Description
Thesis (MEd)--Stellenbosch University, 2022.
Keywords
Early childhood education -- South Africa -- Study and teaching, Algebra -- Study and teaching -- Early childhood education --South Africa, Algebra -- History, Algebra -- Problems, exercises, etc. -- Early childhood education, UCTD