Vacuum polarization energy of a soliton with many internal degrees of freedom
Date
2022-04
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: The main objective of this thesis is to numerically compute the vacuum polarization energy (VPE) of solitons
in a multi-component model by means of spectral methods. The VPE is the leading quantum correction
to the classical energy of the soliton. We compute the classical energy of these solitons and implement the
properties of scattering data to extend the calculation to the VPE. Two popular soliton models in one space
dimension, the Sine-Gordon and the φ4 kink, are analytically assessed and the VPEs are computed utilizing
the Jost functions. Computing the VPE from the Jost function makes ample use of analytical properties of
scattering data, i.e. the wave-functions in the quantum mechanical treatment of static potential scattering.
We generalize that program to field theories (still in one space dimension) containing components with
different masses. These techniques are used to explore the multi-component model introduced by Gani et
al. In that model the stationary field equations have two soliton solutions, of which only one minimizes the
classical energy. The other one is unstable. We examine and verify that scenario from the corresponding Jost
functions allowing us to identify bound states with imaginary energy eigenvalues (with a relativistic dispersion
relation) because their existence signals instabilities. We then compute the VPE of the stable soliton. In a
certain subset of the model parameters the two solitons are classically degenerate. Our calculation of the
VPE provides a definite answer to the question which of the degenerate solitons is preferred.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Die hoofdoel van hierdie tesis is om die vakuumpolarisasie-energie (VPE) van solitons in ’n multi-komponent model numeries deur middel van spektraalmetodes te bereken. Die VPE is die leidende kwantumkorreksie tot die klassieke energie van die soliton. Ons bereken die klassieke energie van hierdie solitons en implementeer die eienskappe van verstrooiingsdata om die berekening na die VPE uit te brei. Twee gewilde soliton modelle in een ruimtelike dimensie, die Sine-Gordon model en die φ4 kinkel, word analities geassesseer en die VPEs word bereken deur die Jost funksies te gebruik. Die berekening van die VPE vanaf die Jost funksie maak ruim gebruik van analitiese eienskappe van verstrooiingsdata, dit wil sˆe die golffunksies in die kwantummeganiese beskrywing van statiese potensiaalverstrooiing. Ons veralgemeen hierdie program na veldteorie ̈e (steeds in een ruimtelike dimensie) wat komponente wat verskillende massas bevat. Hierdie tegnieke word gebruik om die multi-komponent model wat deur Gani et al. voorgestel is, te ondersoek. In daardie model het die sta- tionˆere veldvergelykings twee soliton oplossings waarvan slegs een die klassieke energie minimeer. Die ander een is onstabiel. Ons ondersoek en verifieer hierdie geval met die ooreenstemmende Jost funksies wat ons in staat stel om gebonde toestande met imaginˆere energie-eiewaardes (met ’n relativistiese dispersieverband) te identifiseer aangesien hul bestaan onstabiliteite aandui. Ons bereken dan die VPE van die stabiele soliton. In ’n sekere gebied van die model parameters is die twee solitons klassiek ontaard. Ons berekening van die VPE bied ’n definitiewe antwoord op die vraag van watter van die ontaarde solitons voorkeur geniet.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Die hoofdoel van hierdie tesis is om die vakuumpolarisasie-energie (VPE) van solitons in ’n multi-komponent model numeries deur middel van spektraalmetodes te bereken. Die VPE is die leidende kwantumkorreksie tot die klassieke energie van die soliton. Ons bereken die klassieke energie van hierdie solitons en implementeer die eienskappe van verstrooiingsdata om die berekening na die VPE uit te brei. Twee gewilde soliton modelle in een ruimtelike dimensie, die Sine-Gordon model en die φ4 kinkel, word analities geassesseer en die VPEs word bereken deur die Jost funksies te gebruik. Die berekening van die VPE vanaf die Jost funksie maak ruim gebruik van analitiese eienskappe van verstrooiingsdata, dit wil sˆe die golffunksies in die kwantummeganiese beskrywing van statiese potensiaalverstrooiing. Ons veralgemeen hierdie program na veldteorie ̈e (steeds in een ruimtelike dimensie) wat komponente wat verskillende massas bevat. Hierdie tegnieke word gebruik om die multi-komponent model wat deur Gani et al. voorgestel is, te ondersoek. In daardie model het die sta- tionˆere veldvergelykings twee soliton oplossings waarvan slegs een die klassieke energie minimeer. Die ander een is onstabiel. Ons ondersoek en verifieer hierdie geval met die ooreenstemmende Jost funksies wat ons in staat stel om gebonde toestande met imaginˆere energie-eiewaardes (met ’n relativistiese dispersieverband) te identifiseer aangesien hul bestaan onstabiliteite aandui. Ons bereken dan die VPE van die stabiele soliton. In ’n sekere gebied van die model parameters is die twee solitons klassiek ontaard. Ons berekening van die VPE bied ’n definitiewe antwoord op die vraag van watter van die ontaarde solitons voorkeur geniet.
Description
Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2022.
Keywords
Vacuum polarization energy, Spectral theory (Mathematics), Solitons -- Mathematical models, Scattering theory (Mathematics), Sine-Gordon equation, UCTD