Contributions to the theory of near-vector spaces
Date
2017-12
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT : The purpose of this thesis is to give an exposition and expand the theory
of near-vector spaces. Near-vector space theory is a new and rich field of
mathematics and has been used in several applications, including in secret
sharing schemes in cryptography and to construct interesting new examples
of planar near-rings. There are two type of near-vector spaces, we focus on
the near-vector space defined by André in [2]. After giving several elementary
definitions and properties in Chapter 2, we present the theory of nearvector
spaces in Chapter 3. In [13] van der Walt showed how to construct
an arbitrary finite-dimensional near-vector space, using a finite number of
near-fields, all having isomorphic multiplicative semigroups. The majority
of the results did not contain complete proofs and explanation. Chapter 4
is dedicated to the proofs and explanations of these results. In Chapter 5
we investigate the linear mappings of near-vector spaces. New results are
presented in this section which have been accepted for publication.
AFRIKAANSE OPSOMMING : Die doel van hierdie tesis is om ’n uiteensetting en uitbreiding van die teorie van byna-vektorruimtes te gee. Die teorie van byna-vektorruimtes is ’n nuwe en ryk veld van wiskunde wat al in verskeie toepassings gebruik is, insluitend geheimdelingskemas in kriptografie en om nuwe interessante voorbeelde van planêre bynaringe te konstruktueer. Daar is twee tipes byna-vektorruimtes, ons fokus op die een gedefinieer deur André in [2]. Na ons in Hoofstuk 2 verskeie elementêre definisies en eienskappe gegee het, bied ons die teorie van byna-vektorruimtes in Hoofstuk 3 aan. In [13] het van der Walt gewys hoe om ’n arbitrêre eindig-dimensionele byna-vektorruimte te konstrueer deur gebruik te maak van ’n eindige aantal byna-liggame, met isomorfe vermenigvuldings semi-groepe. Die meerderheid van die resultate het nie volledige bewyse en verduidelikings bevat nie. Hoofstuk 4 is toegewy aan die bewyse en verduidelikings van hierdie resultate. In Hoofstuk 5 ondersoek ons die lineêre afbeeldings van byna-vektorruimtes. Nuwe resultate wat reeds vir publikasie goedgekeur is, word in hierdie afdeling aangebied.
AFRIKAANSE OPSOMMING : Die doel van hierdie tesis is om ’n uiteensetting en uitbreiding van die teorie van byna-vektorruimtes te gee. Die teorie van byna-vektorruimtes is ’n nuwe en ryk veld van wiskunde wat al in verskeie toepassings gebruik is, insluitend geheimdelingskemas in kriptografie en om nuwe interessante voorbeelde van planêre bynaringe te konstruktueer. Daar is twee tipes byna-vektorruimtes, ons fokus op die een gedefinieer deur André in [2]. Na ons in Hoofstuk 2 verskeie elementêre definisies en eienskappe gegee het, bied ons die teorie van byna-vektorruimtes in Hoofstuk 3 aan. In [13] het van der Walt gewys hoe om ’n arbitrêre eindig-dimensionele byna-vektorruimte te konstrueer deur gebruik te maak van ’n eindige aantal byna-liggame, met isomorfe vermenigvuldings semi-groepe. Die meerderheid van die resultate het nie volledige bewyse en verduidelikings bevat nie. Hoofstuk 4 is toegewy aan die bewyse en verduidelikings van hierdie resultate. In Hoofstuk 5 ondersoek ons die lineêre afbeeldings van byna-vektorruimtes. Nuwe resultate wat reeds vir publikasie goedgekeur is, word in hierdie afdeling aangebied.
Description
Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2017
Keywords
Algebras, Linear, UCTD, Cryptography, Near-vector spaces, Vector spaces