Universal scaling and dynamics at quantum phase transitions in the Kitaev Chain
Date
2021-12
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: Experimental advances in ultracold gases present physicists with the opportunity to explore a diverse
range of new phenomena in a controllable manner. In turn, this has fuelled significant interest in the field
of non-equilibrium quantum many-body dynamics. A common theme in several theoretical studies has been
the dynamics that emerge when a quantum system is driven out of equilibrium through a continuous ramp, or
sudden quench, of a control parameter in the system’s Hamiltonian. Of particular interest is the case where
the ramp results in the system approaching, or crossing, a quantum phase transition, and where properties of
the associated critical point are then imprinted on the system’s dynamics. A classical version of this notion
was already proposed by Kibble and Zurek in the 1980s in the context of thermal phase transitions. There it
was shown that the equilibrium critical exponents of the phase transition govern certain scaling laws which
emerge following a parameter ramp across a phase transition. This mechanism subsequently also received
considerable attention in the context of zero-temperature quantum phase transitions. Fundamental to this
framework is the breakdown in adiabatic evolution at the critical point, leading to the production of excitations.
The scaling of the resulting excitation density with the ramp rate, and how the equilibrium critical
exponents are encoded in this scaling law, are some of the central predictions of the Kibble-Zurek framework.
We study extensions of this framework and investigate parameter ramps at finite temperatures, as well
as ramps of the temperature itself, in the vicinity of a quantum phase transition. The overarching goal is
to formulate scaling laws and identify universal features resulting from such ramps. We single out the onedimensional,
long-range fermionic Kitaev chain as a setting for this investigation. The quadratic nature of
this model makes it amenable to both analytic and numeric treatments, even after introducing a coupling to
a thermal bath within the Lindblad formalism. We derive analytic scaling laws for the excitation density
resulting from ramps to the critical point, both for an isolated chain and for one in contact with a thermal
environment. In the former case, our results are found to agree with the predictions of the Kibble-Zurek
framework, except for the case of long-range hopping along the chain. Despite this, we find excellent agreement
between our analytic scaling predictions and exact numeric results obtained from solving the relevant
equations of motion. For the open Kitaev chain the scaling of, and competition between, the contributions of
the coherent and incoherent excitation mechanisms is analysed in detail. To support our analytic predictions,
we exploit the superoperator formalism of Prosen to solve the Lindblad master equation numerically for
chains with several thousand sites. We also consider the cooling of the system towards the quantum critical
point, and investigate how the final residual excitation density scales with the cooling rate and the initial
temperature. This work presents new results for these temperature ramps towards critical points, and extends
several other results appearing in the literature.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Eksperimentele vooruitgang in ultrakoue kwantumgasse bied fisici die geleentheid om ’n uiteenlopende reeks nuwe verskynsels op ’n beheerbare wyse te ondersoek. Hierdie vooruitsig het ook aansienlike belangstelling in nie-ewewig veeldeeltjie kwantumdinamika aangewakker. ’n Sentrale tema in verskeie teoretiese studies is die dinamika van ’n kwantumsisteem wat uit ewewig gedryf word deur ’n kontinue of skielike variasie van ’n kontroleparameter in die sisteem se Hamiltoniaan. Van besondere belang is die geval waar die parameter variasie daartoe lei dat die sisteem ’n kwantum-faseoorgang nader of oorsteek, en waar eienskappe van die gepaardgaande kritiese punt dan in die dinamika vervat word. ’n Klassieke weergawe van hierdie idee is reeds in die negentien-tagtigs in die konteks van termiese faseoorgange deur Kibble en Zurek voorgestel. Daar is gevind dat die ewewig kritiese eksponente van die faseoorgang ’n rol speel in sekere skaleringswette wat na vore kom na ’n parameter variasie wat die faseoorgang oorsteek. Hierdie meganisme het sedertdien ook aansienlike aandag in die konteks van nul-temperatuur kwantum-faseoorgange geniet. ’n Fundamentele aspek van hierdie raamwerk is hoe adiabatiese evolusie by die kritiese punt afbreek wat dan lei tot die skep van opwekkings. Die skalering van die resulterende opwekkingsdigtheid met die tempo waarteen die parameter gevarieer word, asook hoe die ewewig kritiese eksponente in hierdie skaleringswet verskyn, is van die sentrale voorspellings van die Kibble-Zurek raamwerk. Ons bestudeer veralgemenings van hierdie raamwerk en ondersoek kontroleparameter variasies by eindige temperature, asook temperatuur variasies na aan ’n kwantum-faseoorgang. Die oorhoofse doelwit is om skaleringswette te formuleer en universele kenmerke te identifiseer. Ons fokus op die een-dimensionele, langreikwydte fermioniese Kitaev ketting as ’n konteks vir hierdie studie. Die kwadratiese aard van hierdie model maak beide analitiese en numeriese ondersoeke moontlik, selfs wanneer dit aan ’n termiese bad gekoppel word binne die Lindblad-formalisme. Ons lei analitiese skaleringswette af vir die opwekkingsdigtheid wat volg uit parameter variasies wat eindig by die kritiese punt, beide vir ’n ge¨ısoleerde sisteem asook vir een wat in kontak met ’n termiese omgewing is. Vir die ge¨ısoleerde sisteem stem ons resultate ooreen met die voorspellings van die standaard Kibble-Zurek raamwerk, behalwe in die geval van langreikwydte hopprosesse in die ketting. Ten spyte hiervan vind ons steeds uitstekende ooreenstemming tussen ons analitiese voorspellings en eksakte numeriese resultate wat verkry word deur die relevante bewegingsvergelykings op te los. Vir die sisteem wat in kontak met ’n termiese bad is ontleed ons beide die skalering van die koherente en nie-koherente bydraes tot die opwekkingsdigtheid, asook die kompetisie tussen hierdie bydraes. Om ons analitiese resultate te ondersteun gebruik ons die superoperator formalisme van Prosen om die Lindbladmeestervergelyking numeries op te los vir kettings met ’n paar duisend eenhede. Ons beskou ook die afkoel van die sisteem na die kwantum kritiese punt, en ontleed hoe die finale oorblywende opwekkingsdigtheid met die afkoeltempo asook die aanvanklike temperatuur skaleer. Hierdie werk bevat nuwe resultate vir hierdie temperatuur variasies by kritiese punte, en brei ook verskeie ander resultate uit wat in die literatuur verskyn.
AFRIKAANSE OPSOMMING: Eksperimentele vooruitgang in ultrakoue kwantumgasse bied fisici die geleentheid om ’n uiteenlopende reeks nuwe verskynsels op ’n beheerbare wyse te ondersoek. Hierdie vooruitsig het ook aansienlike belangstelling in nie-ewewig veeldeeltjie kwantumdinamika aangewakker. ’n Sentrale tema in verskeie teoretiese studies is die dinamika van ’n kwantumsisteem wat uit ewewig gedryf word deur ’n kontinue of skielike variasie van ’n kontroleparameter in die sisteem se Hamiltoniaan. Van besondere belang is die geval waar die parameter variasie daartoe lei dat die sisteem ’n kwantum-faseoorgang nader of oorsteek, en waar eienskappe van die gepaardgaande kritiese punt dan in die dinamika vervat word. ’n Klassieke weergawe van hierdie idee is reeds in die negentien-tagtigs in die konteks van termiese faseoorgange deur Kibble en Zurek voorgestel. Daar is gevind dat die ewewig kritiese eksponente van die faseoorgang ’n rol speel in sekere skaleringswette wat na vore kom na ’n parameter variasie wat die faseoorgang oorsteek. Hierdie meganisme het sedertdien ook aansienlike aandag in die konteks van nul-temperatuur kwantum-faseoorgange geniet. ’n Fundamentele aspek van hierdie raamwerk is hoe adiabatiese evolusie by die kritiese punt afbreek wat dan lei tot die skep van opwekkings. Die skalering van die resulterende opwekkingsdigtheid met die tempo waarteen die parameter gevarieer word, asook hoe die ewewig kritiese eksponente in hierdie skaleringswet verskyn, is van die sentrale voorspellings van die Kibble-Zurek raamwerk. Ons bestudeer veralgemenings van hierdie raamwerk en ondersoek kontroleparameter variasies by eindige temperature, asook temperatuur variasies na aan ’n kwantum-faseoorgang. Die oorhoofse doelwit is om skaleringswette te formuleer en universele kenmerke te identifiseer. Ons fokus op die een-dimensionele, langreikwydte fermioniese Kitaev ketting as ’n konteks vir hierdie studie. Die kwadratiese aard van hierdie model maak beide analitiese en numeriese ondersoeke moontlik, selfs wanneer dit aan ’n termiese bad gekoppel word binne die Lindblad-formalisme. Ons lei analitiese skaleringswette af vir die opwekkingsdigtheid wat volg uit parameter variasies wat eindig by die kritiese punt, beide vir ’n ge¨ısoleerde sisteem asook vir een wat in kontak met ’n termiese omgewing is. Vir die ge¨ısoleerde sisteem stem ons resultate ooreen met die voorspellings van die standaard Kibble-Zurek raamwerk, behalwe in die geval van langreikwydte hopprosesse in die ketting. Ten spyte hiervan vind ons steeds uitstekende ooreenstemming tussen ons analitiese voorspellings en eksakte numeriese resultate wat verkry word deur die relevante bewegingsvergelykings op te los. Vir die sisteem wat in kontak met ’n termiese bad is ontleed ons beide die skalering van die koherente en nie-koherente bydraes tot die opwekkingsdigtheid, asook die kompetisie tussen hierdie bydraes. Om ons analitiese resultate te ondersteun gebruik ons die superoperator formalisme van Prosen om die Lindbladmeestervergelyking numeries op te los vir kettings met ’n paar duisend eenhede. Ons beskou ook die afkoel van die sisteem na die kwantum kritiese punt, en ontleed hoe die finale oorblywende opwekkingsdigtheid met die afkoeltempo asook die aanvanklike temperatuur skaleer. Hierdie werk bevat nuwe resultate vir hierdie temperatuur variasies by kritiese punte, en brei ook verskeie ander resultate uit wat in die literatuur verskyn.
Description
Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2021.
Keywords
Phase transformations (Statistical physics), Kitaev chain, Scaling laws (Statistical physics), Nonequilibrium thermodynamics, Many-body problem, Quantum phase transitions, UCTD